Mencari Eigenvalue dan Eigenvector

Mencari Eigenvalue

Nilai eigenvalue dari suatu matriks bujursangkar merupakan polynomial karakteristik dari matriks tersebut; jika λ adalah eigenvalue dari A maka akan ekuivalen dengan persamaan linier    (A – λI) v = 0 (dimana I adalah matriks identitas) yang memiliki pemecahan non-zero v (suatu eigenvector), sehingga akan ekuivalen dengan determinan.

 det (A – λI) = 0 

Fungsi p(λ) = det (A – λI) adalah sebuah polynomial dalam λ karena determinan dihitung dengan sum of product. Semua eigenvalue dari suatu matriks A dapat dihitung dengan menyelesaikan persamaan pA(λ) = 0. Jika A adalah matriks ukuran n x n, maka pA memiliki derajat n dan A akan memiliki paling banyak n buah eigenvalue.

Mencari Eigenvector

Jika eigenvalue λ diketahui, eigenvector dapat dicari dengan memecahkan:

 (A – λI) v = 0 

Dalam beberapa kasus dapat dijumpai suatu matriks tanpa eigenvalue, misalnya:

 

dimana karakteristik bilangan polynomialnya adalah λ2 + 1 sehingga eigenvalue adalah bilangan kompleks i, -i. Eigenvector yang berasosiasi juga tidak riil.

Jika diberikan matriks:

maka polynomial karakteristiknya dapat dicari sebagai berikut:

ini adalah persamaan kuadrat dengan akar-akarnya adalah λ = 2 dan λ= 3.

Adapun eigenvector yang didapat ada dua buah. Eigenvector pertama dicari dengan mensubtitusikan λ = 3 ke dalam persamaan. Misalnya Y₀ adalah eigenvector yang berasosiasi dengan eigenvalue λ= 3. Set Y₀ dengan nilai:

Kemudian subtitusikan Y0 dengan v pada persamaan:

( A – λI) v = 0

sehingga diperoleh:

(2 – 3)X₀ + (-Y₀)  = 0

   0 + (3 – 3)Y₀  = 0

dapat disederhanakan menjadi:

-X₀ -Y₀ = 0 atau Y₀ = -X₀

 

 

sehingga eigenvector untuk eigenvalue λ = 3 adalah:

Hubungan antara eigenvalue dan eigenvector dari suatu matriks digambarkan oleh persamaan :

 C x v_i = λ_i x v_i

 dimana v adalah eigenvector dari matriks M dan λ adalah eigenvalue. Terdapat n buah eigenvector dan eigenvalue dalam sebuah n x n matriks.